算法模板

最短路径算法模板

最短路径

Posted by WenlSun" on April 30, 2020

我们只需考虑有向图上的算法，因为无向图是特殊的有向图。我们可以将所有无向边 u↔vu↔v，都拆分成两条有向边：u←vu←v 和 u→vu→v。为了方便叙述，我们做如下约定：$n$ 表示图中点数，$m$ 表示图中边数。参考yxc大佬的分享

图的存储

图的存储方法一般有两种方式：

  • 邻接矩阵：开个二维数组，g[i][j]表示点$i$和点$j$之间的边权。
  • 邻接表：邻接表有两种常用写法，推荐第二种，代码更简洁，效率也更高，后面有代码模板： (1) 二维vector：vector<vector<int>> edge，edge[i][j] 表示第 $i$ 个点的第 $j$ 条邻边。 (2) 数组模拟邻接表：为每个点开个单链表，分别存储该点的所有邻边。

最短路径算法

最短路径分为两大类：

  • 单源最短路径：常用的算法有：(1)dijkstra 只有所有边的权值为正时才可以使用。在稠密图上时间复杂度是$O(n^2)$,在稀疏图上的时间复杂度是$O(mlogn)$。(2)spfa 不论边权是正还是负，都可以做。算法平均时间复杂度是$O(km)$,推荐使用该算法。
  • 多源最短路径：一般用floyd算法，代码很短，三重循环，时间复杂度是$O(n^3)$

Dijkstra算法 $O(n^2)$

给定一个n个点m条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为正值。请你求出1号点到n号点的最短距离，如果无法从1号点走到n号点，则输出-1。原题链接

输入： 第一行包含整数n和m。接下来m行每行包含三个整数a，b，c，表示存在一条从点a到点b的有向边，边长为c。

输出：输出一个整数，表示1号点到n号点的最短距离。如果路径不存在，则输出-1。

样例：3 3
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输出 3

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 2000010, INF = 1000000000;

int n, m;
int g[N][N], dist[N];   // g[][]存储图的邻接矩阵, dist[]表示每个点到起点的最短距离
bool st[N];     // 用于在更新最短距离时 判断当前的点的最短距离是否确定 是否需要更新

void dijkstra(){
    for (int i = 1; i <= n; i++) dist[i] = INF;
    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++){
        int id, mind = INF;
        // 每次迭代的过程中我们都先找到当前未确定的最短距离的点中距离最短的点
        // 该步骤即寻找还未确定最短路的点中路径最短的点
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && dist[j] < mind){
                mind = dist[j];
                id = j;
            }
        //id 代表就是剩余未确定最短路的点中 路径最短的点 而与此同时该点的最短路径也已经确定我们将该点标记
        st[id] = 1;
        // 然后用这个去更新其余未确定点的最短距离
        //这里可能有同学要问j如果从1开始的话 会不会影响之前已经确定的点的最小距离
        //但其实是不会 因为按照我们的Dijkstra算法的操作顺序 先确定最短距离的点的距离已经比后确定的要小 所以不会影响
        //当然你也可以在循环判断条件里加上if(!st[i])
        //这里j从1开始只是为了代码的简洁
        for (int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], dist[id] + g[id][j]);
    }
}

int main(){
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            g[i][j] = INF;
    for (int i = 0; i < m; i++){
        int a, b, c; // 边a-b 以及权重
        cin >> a >> b >> c;
        // 去重边
        g[a][b] = min(g[a][b], c);
        // 去重边，若是无向图则将无向图转为有向图 ，注意题目中的要求
        // g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }
    dijkstra();
    cout << dist[n] << endl;
    return 0;
}

Dijkstra + 堆优化 $O(mlogn)$

用堆维护所有点到起点的距离。时间复杂度$O(mlogn)$。可以手写堆，可以支持对堆中元素的修改操作，堆中元素个数不会超过 m。也可以直接使用STL中的priority_queue，但不能支持对堆中元素的修改，不过我们可以将所有修改过的点直接插入堆中，堆中会有重复元素，但堆中元素总数不会大于 m。只能处理边权为正数的情况。图用邻接表存储。

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#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

const int N = 510, M = 100010, INF = 100000000;

int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;  // 邻接表存储所有边
int dist[N];                       // 存储所有点到1号点的最短距离
bool st[N];  // 存储每个点的最短距离是否已确定

int n, m;  // 点的数量

// 添加一条边
void add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void Dijkstra() {
    // 注意这儿的初始化！！！
    for (int i = 1; i <= n; i++) dist[i] = INF;
    dist[1] = 0;
    priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
    heap.push({0, 1});  // first存储距离，second存储节点编号
    while (heap.size()) {
        auto t = heap.top();
        heap.pop();
        int ver = t.second, distance = t.first;
        if (st[ver]) continue;
        st[ver] = true;
        for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > distance + w[i]) {
                dist[j] = distance + w[i];
                heap.push({dist[j], j});
            }
        }
    }
}

int main() {
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    Dijkstra();
    if (dist[n] == INF) {
        cout << -1 << endl;
    } else {
        cout << dist[n] << endl;
    }
    return 0;
}

spfa算法 $O(km)$

bellman-ford算法的优化版本，可以处理存在负边权的最短路问题。最坏情况下的时间复杂度是$O(nm)$,但实践证明spfa算法的运行效率非常高，期望运行时间是$O(km)$,其中k是常数。但需要注意的是，在网格图中，spfa算法的效率比较低，如果边权为正，则尽量使用 dijkstra 算法。 图采用邻接表存储。 队列为手写的循环队列。

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#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010, INF = 100000000;

int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;  // 邻接表
int dist[N], q[N];  // dist表示每个点到起点的距离, q 是队列
bool st[N];         // 存储每个点是否在队列中

int n, m;

int add(int a, int b, int c) {
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

void spfa() {
    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) dist[i] = INF;
    dist[1] = 0;
    q[tt++] = 1;
    st[1] = 1;
    while (hh != tt) {
        int t = q[hh++];
        st[t] = 0;
        if (hh == n) hh = 0;
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i]) {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                if (!st[j]) {
                    st[j] = 1;
                    q[tt++] = j;
                    if (tt == n) tt = 0;
                }
            }
        }
    }
}

int main() {
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add(a, b, c);
    }
    spfa();
    if (dist[n] == INF) {
        cout << -1 << endl;
    } else {
        cout << dist[n] << endl;
    }
    return 0;
}

floyd算法 $O(n^3)$

标准弗洛伊德算法，三重循环。循环结束之后d[i][j]存储的就是点$i$到点$j$的最短距离。需要注意循环的顺序不能改变：第一层枚举中间点，第二层和第三层枚举起点和终点。

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#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 510, M = 100010, INF = 1000000000;

int n, m;
int d[N][N];  // 存储两点之间的最短距离

int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++) d[i][j] = i == j ? 0 : INF;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        d[a][b] = d[b][a] = min(c, d[a][b]);
    }
    // floyd 算法核心
    for (int k = 1; k <= n; k++)
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
    if(d[1][n] != INF)
        cout << d[1][n] << endl;
    else
        cout<< -1 <<endl;
    return 0;
}

最短路径问题

给你n个点，m条无向边，每条边都有长度d和花费p，给你起点s终点t，要求输出起点到终点的最短距离及其花费，如果最短距离有多条路线，则输出花费最少的。原题链接

输入：输入n,m，点的编号是1~n,然后是m行，每行4个数 a,b,d,p，表示a和b之间有一条边，且其长度为d，花费为p。最后一行是两个数 s,t;起点s，终点t。n和m为0时输入结束。(1<n<=1000, 0<m<100000, s != t)

输出：输出 一行有两个数， 最短距离及其花费。

样例：输入：
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输出 9 11

C++ 参考代码

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#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 100010, INF = 1000000000;

int g[N][N], dist[N];
int cost[N][N], val[N];
bool st[N];

int n, m, s;

void dijkstra(int s) {
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dist[i] = INF;
        val[i] = INF;
    }
    dist[s] = 0;
    val[s] = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int id, mind = INF;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            if (!st[j] && dist[j] < mind) {
                mind = dist[j];
                id = j;
            }
        }
        st[id] = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {  // 更新最短路径和花费
            if (dist[j] > dist[id] + g[id][j]) {
                dist[j] = dist[id] + g[id][j];
                val[j] = val[id] + cost[id][j];
                // 如果路径相同，更新花费
            } else if (dist[j] == dist[id] + g[id][j] &&
                       val[j] > val[id] + cost[id][j]) {
                val[j] = val[id] + cost[id][j];
            }
        }
    }
}

int main() {
    while (cin >> n >> m) {
        if (n == 0 || m == 0) break;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                g[i][j] = INF;
                cost[i][j] = INF;
            }
        }
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            int a, b, d, p;
            cin >> a >> b >> d >> p;
            if (g[a][b] > d) {  //   去除重复边，选最短的
                g[a][b] = g[b][a] = d;
                cost[a][b] = cost[b][a] = p;
            } else if (g[a][b] == d && cost[a][b] > p) {
                // 去除重复花费，选最小的
                cost[a][b] = cost[b][a] = p;
            }
        }
        int s, t;
        cin >> s >> t;
        dijkstra(s);
        cout << dist[t] << ' ' << val[t] << endl;
    }
    return 0;
}
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